Dziedzina badanej funkcji to zbiór wszystkich liczb dla których funkcja ma sens - czyli funkcja istnieje.

Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich liczb będących wartościami funkcji dla wszystkich liczb z dziedziny funkcji.

dziedzina i zbiór wartości funkcji liniowej

Dziedziną funkcji liniowej f(x)=x jest zbiór liczb rzeczywistych

Zbiorem wartości funkcji liniowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Inny przykład

dziedzina funkcji hiperbolicznej

Dziedzina funkcji jeden podzielić przez x f(x)=1/x jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem zera

Zbiorem wartości funkcji f(x)=1/x jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera.

Dziedzinę funkcji określamy szukając liczb, dla których funkcja nie ma sensu, np. mianownik jest zerem
wartość wyrażenia pod pierwiastkiem kwadratowym jest ujemna
bezwzględna wartość wyrażenia jest ujemna
wyrażenie logarytmowane jest ujemne lub równe zero
wartość sinusa lub cosinusa wychodzi większa od jeden itp.

Własności liczb rzeczywistych

Własności liczb rzeczywistych

Badanie funkcji polega na znalezieniu odpowiedzi na następujące pytania

Jaka jest dziedzina funkcji?

Jaki jest zbiór wartości funkcji?

Jakie miejsca zerowe ma funkcja?

Gdzie funkcja jest ciągła?

Jakie ma funkcja granice, w punktach dla których nie jest określona?

Czy funkcja ma ekstrema lokalne i globalne?

Jakie to ekstrema?

Gdzie funkcja jest rosnąca, a gdzie malejąca?

Gdzie funkcja jest wypukła, a gdzie wklęsła?

Czy funkcja ma punkty przegięcia?

Jak wygląda orientacyjnie wykres funkcji?

Jak wygląda przebieg funkcji - tabelarycznie?

Badana funkcja f(x)=(x2+x-2)-1

funkcja wymierna

Wartości funkcji określimy na podstawie własności funkcji kwadratowej - trójmianu kwadratowego.

Zbiór wartości funkcji

Zbiór wartości funkcji
ZWf=R\(-4/9;0>

Licznik badanej funkcji to liczba jeden. Mianownik badanej funkcji jes trójmianem kwadratowym x2+x-2. Wykorzystamy więc własności trójmianu kwadratowego.

Nasz trójmian kwadratowy x2+x-2 ma dwa pierwiastki x1=-2 i x2=1. Dla x leżących pomiędzy tymi wartościami trójmian nasz przyjmuje wartości ujemne.

W pobliżu pierwiastków x1=-2 i x2=1 trójmian przyjmuje wartości bliskie zeru.

Analizę wartości funkcji przeprowadzimy w następujących przedziałach dziedziny funkcji:
a) od minus nieskończoności do -2;
b) od minus dwa do plus jeden;
c) od plus jeden do plus nieskończoności.

wykres trójmianu kwadratowego

W pierwszym przedziale licznik jest dodatni i mianownik jest dodatni - funkcja jest dodatnia.
Dla x bardzo odległych od zera mianownik jest dodatni i duży. Funkcja badana jest więc mała - bliska zero.
Dla x bliskiego -2 mianownik jest dodatni i bardzo mały - wartość funkcji jest bardzo duża.

W drugim przedziale licznik jest dodatni a mianownik jest ujemny - funkcja jest ujemna. Blisko -2 wartość funkcji jest ujemna a jej wartość bezwzględna jest bardzo duża.
Jak to wygląda na wykresie?
Podobnie blisko 1 wartość funkcji jest ujemna i jej wartość bezwzględna jest duża.

Zbiór wartości funkcji

wykres funkcji

Co jest w środku przedziału?

Dla x równego -0,5 mianownik jest ujemny i najmniejszy - funkcja badana ma więc wartość największą w przedziale między -2 a 1.

W trzecim przedziale licznik jest dodatni i mianownik jest dodatni -funkcja jest dodatnia.
Dla x bliskiego 1 mianownik jest dodatni i bliski zera - wartość funkcji jest duża. Dla x dużych mianownik jest dodatni i duży - wartość funkcji jest mała i dodatnia.

Ponieważ współczynnik przy zmiennej w kwadracie jest dodatni, to trójmian ten ma obie gałęzie skierowane do góry. Wierzchołek trójmianu jest więc najmniejszą wartością trójmianu.

Kolejna strona Jakie miejsca zerowe ma funkcja?

Strona główna

Dodawanie ułamków zwykłych

Dodawanie ułamków zwykłych

Wartość bezwzględna

Pomoc w pracy domowej

Fizyka

Fizyka - zadania - rozwiązania - wyjaśnienia

Pomoc z historii
Co było powodem olbrzymiego rozkwitu Grecji?

Jak rozwijało się Imperium Rzymskie?

Czterdzieści wieków starożytnego Egiptu

Asymptoty funkcji

Pomoc z historii
Co było powodem olbrzymiego rozkwitu Grecji?

Pomoc z fizyki
Rozwiązane zadania i przykłady z fizyki