Matematyka w praktyce - przykłady, zadania, rozwiązania

Nierówności

Master slide x + 1 > x 1 x 1 i x 1 dziedzina x 1 x + 1 > x 1 2 > 0 nierówność prawdziwa dla x 1

Nierówności zawierające pierwiastki

Nierówności zawierające pierwiastki rozwiązujemy podobnie jak inne nierówności rozpoczynając od ustalenia dziedziny, w której mogą być zawarte rozwiązania. Dziedziną nierówności jest zbiór wszystkich liczb, dla których nierówność ma sens. Dla liczb z dziedziny wszystkie funkcje zawarte w nierówności mają sens. Nierówność może być dla liczb z dziedziny prawdziwa lub może być nieprawdziwa. Istotne jest, by można było wykonać wszystkie operacje zawarte we wszystkich wyrażeniach w obu stronach nierówności.

Rozwiązać nierówność oznacza znaleźć zbiór wszystkich wartości zmiennej, dla których nierówność jest prawdziwa.

Zbiór rozwiązań nierówności musi się mieścić w zbiorze wartości, dla których nierówność może być prawdziwa lub fałszywa, ale można podstawić te wartości, by poszczególne formuły nierówności miały sens.

Oba wyrażenia znajdujące się pod pierwiastkami muszą być nieujemne - dodatnie lub równe zero.

Rozwiązanie obu nierówności daje warunek na dziedzinę nierówności - odpowiednik dziedziny funkcji.

Master slide x 2 1 > x 2 + 1 x 2 1 0 i x 2 + 1 0 x 2 1 i x dziedzina dwa przedziały x 1 lub x 1 x 2 1 > x 2 + 1 0 > 2 nierówność fałszywa

Rozwiązanie nierówności

Rozwiązanie zaczynamy od określenia dziedziny nierówności - oba wyrażenia znajdujące się w pierwiastkach muszą być nieujemne równocześnie. Dziedzina nierówności to zbiór wszystkich liczb, dla których nierówność ma sens - może być prawdziwa lub może być nieprawdziwa. Ważne jest, by można było wykonać wszystkie operacje zawarte w obu stronach nierówności.

Warunek końcowy to część wspólna dwóch podzbiorów określonych przez dwa pierwiastki.

Nierówność spełniona jest dla dowolnych wartości x z dziedziny nierówności.

W tym zadaniu rozwiązanie nierówności sprowadziło się do określenia dziedziny nierówności.

Zasady stosowane przy rozwiązywaniu nierówności

Określamy dziedzinę uwzględniając warunki jakie muszą spełniać funkcje występujące w wyrażeniach tworzących nierówność.

Inny przykład nierówności

Master slide x 1 > x 3 x 1 0 i x 3 0 x 1 i x 3 dziedzina x 3 x 1 > x 3 0 > 2 nierówność prawdziwa dla x 3

Nierówność wydaje się byc banalna, ale procedury rozwiązywania nierówności muszą być zachowane.

Zauważmy, że w ten sposób udowodniliśmy, że prawdziwa jest nierówność odwrotna.

Dziedzina lewej strony jest zbiorem liczb rzeczywistych bez otwartego zbioru (przedziału) liczb od -1 do 1.

Dziedziną prawej strony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Dziedzina lewej strony zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych czyli w dziedzinie prawej strony.

Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych bez zbioru liczb większych od minus jeden ale mniejszych od plus jeden.

Dalej wykorzystujemy własności funkcji tworzących nierówność dla zmiennych z dziedziny nierówności.

W ostatecznym efekcie otrzymujemy nierówność fałszywą oznaczającą, że wyjściowa nierówność też jest fałszywa dla wszystkich argumentów należących do dziedziny nierówności.

Możemy więc wnioskować, że nierówność przeciwna (po zmianie zwrotu nierówności) jest prawdziwa dla wszystkich liczb należących do dziedziny nierówności.

Inny przykład nierówności zawierającej wyrażenia niewymierne.

Dziedziną lewej strony jest zbiór liczb równych jeden lub większych od liczby jeden.

Dziedziną prawej strony jest zbiór liczb równych trzy lub większych od liczby trzy.

Dziedziną nierówności jest część wspólna tych dwóch zbiorów.

Dziedzina prawej strony nierówności jest podzbiorem lewej strony nierówności czyli dziedziną nierówności jest dziedzina prawej strony - zbiór liczb nie mniejszych niż trzy (inaczej liczba trzy i liczby większe od liczby trzy).

Rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby większe od liczby trzy czyli z dziedziny nierówności trzeba było odrzucić liczbę trzy.

Obliczenia były bardzo proste ponieważ dla dziedziny nierówności obie strony są dodatnie i nie trzeba rozpatrywać różnych wariantów.

Inny przykład nierówności zawierającej wyrażenia niewymierne.

Nierówność zawierająca wyrażenia pod pierwiastkiem

Zbiór rozwiązań jest lewostronnie domknięty - zawiera lewy koniec.

Pomoc z historii
Co było powodem olbrzymiego rozkwitu Grecji?

Pomoc z fizyki
Rozwiązane zadania i przykłady z fizyki

Badanie funkcji

Strona główna

Dodawanie ułamków zwykłych

Dodawanie ułamków zwykłych

Wartość bezwzględna

Dodawanie ułamków - wstęp

Asymptoty funkcji.

Badanie przebiegu funkcji

Trójmian kwadratowy

Ułamki zwykłe i dziesiętne

Ułamki, równania - spis stron

Dodawanie ułamków zwykłych

Dzielenie ułamków

Ułamki zwykłe

Równania wymierne

Przykłady zbiorów

Działania na ułamkach - przykład

Wartość bezwzględna liczby

Układy równań liniowych

równania wymierne

Całka z funkcji wymiernej

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna

Dodawanie ułamków - przykłady

Dodawanie ułamków zwykłych

Fizyka
Fizyka - zadania - rozwiązania - wyjaśnienia
Pomoc z historii
Co było powodem olbrzymiego rozkwitu Grecji?

Pomoc z historii
Jak rozwijało się Imperium Rzymskie?

Pomoc z historii
Czterdzieści wieków starożytnego Egiptu