Matematyka w praktyce - przykłady, zadania, rozwiązania

Jednomiany - definicja, przykłady, własności

Master slide f ( x ) = a · x n gdzie a ∈ R jest ustalone x ∈ R jest zmienną n ∈ N jest ustalone Master slide Przykłady jednomianów f ( x ) = a · x n f ( x ) = 3 · x f ( x ) = √ 3 · x 4 f ( x ) = x f ( x ) = 2 Master slide Przykłady wyrażeń , które nie są jednomianami f ( x ) = 2 · √ x f ( x ) = 3 x f ( x ) = √ 3 · x f ( x ) = 1 + x f ( x ) = 2 + x 2

Stopień jednomianu

Master slide Stopień jednomianu f ( x ) = a · x n st { f ( x ) } = n f ( x ) = 3 · x st { f ( x ) } = 1 f ( x ) = √ 3 · x 4 st { f ( x ) } = 4 f ( x ) = x st { f ( x ) } = 1 f ( x ) = 2 st { f ( x ) } = 0

Wartość jednomianu dla wybranej wartości zmiennej

Master slide Wartość jednomianu f ( x ) = 3 · x f ( x = 2 ) = 3 · 2 = 6 f ( x = √ 2 ) = 3 · √ 2 f ( x = 2 + √ 3 ) = 3 · ( 2 + √ 3 ) = 6 + 3 · √ 3 Master slide Wartość jednomianu f ( x ) = √ 3 · x 4 f ( x = 3 ) = √ 3 · 3 4 = 81 · √ 3 f ( x = 0 ) = √ 3 · 0 4 = 0 · √ 3 = 0 f ( x = 1 ) = √ 3 · 1 4 = 1 · √ 3 = √ 3 f ( x = - 1 ) = √ 3 · ( - 1 ) 4 = 1 · √ 3 = √ 3 f ( x = 1 4 ) = √ 3 · ( 1 2 ) 4 = 1 16 · √ 3 Master slide Wartość jednomianu f ( x ) = 2 f ( x = 0 ) = 2 f ( x = 1 ) = 2 f ( x = - 3 ) = 2 f ( x = √ 5 ) = 2 jednomian stały

Dodawanie jednomianów

Master slide dodawanie jednomianów x + x = 2 · x 2 · x 2 + 4 · x 2 = 6 · x 2 2 · x + 4 · x 2 = 4 · x 2 + 2 · x 2 · x 2 + √ 3 · x 2 = ( 2 + √ 3 ) · x 2

Umowy dotyczące zapisu jednomianów

Master slide umowy dotyczące zapisu x = 1 · x 2 x = 2 · x √ 5 x = √ 5 · x x = x 1 x 2 = x · x x 3 = x · x · x

Mnożenie jednomianów

Master slide mnożenie jednomianów x · x = x 2 ( 2 · x ) · ( 5 x 3 ) = 10 · x 4 ( 3 · x 2 ) · ( √ 5 x 3 ) = 3 · √ 5 x 5

Przykłady zastosowania jednomianów

Master slide ah 2 - pole trójkąta ah - pole równoległoboku a 2 - pole kwadratu ab - pole prostokąta nc - koszt zakupu Master slide Pt - praca maszyny o stałej mocy a 2 h 3 - objętość ostrosłupa o podstawie kwadratu 6 a 2 - pole powierzchni całkowitej sześcianu 2 π r h - pole powierzchni bocznej walca π r 2 h - objętość walca

Jednomiany

Jednomian to iloczyn ustalonej liczby rzeczywistej przez zmienną w potędze o stopniu będącym liczbą naturalną

Każdy jednomian jest wyrażeniem algebraicznym, ale nie wszystkie wyrażenia algebraiczne są jednomianami.

Stopień jednomianu jednej zmiennej równy jest wykładnikowi potęgi do której podniesiona jest zmienna.

Wartość jednomianu obliczamy przekształcając jednomian w wyrażenie arytmetyczne przez wstawienie w miejsce zmiennej wybranej liczby. Następnie wykonujemy obliczenia zgodnie z zasadami arytmetyki liczb rzeczywistych.

Dodawać możemy tylko jednomiany tego samego stopnia czyli jednomiany różniące się co najwyżej współczynnikiem,

W zapisie jednomianów stosujemy kilka zasad upraszczających zapis -
pomijamy znak mnożenia między liczbą a zmienną,
pomijamy wykładnik potęgi równy jeden,
zamiast iloczynu tych samych liczb piszemy potęgę,
podobnie zamiast iloczynu zmiennych piszemy odpowiednią potęgę zmiennej,
liczbę (współczynnik) jednomianu piszemy przed zmienną