Matematyka szkolna

89. Badanie przebiegu funkcji

Funkcje matematyczne mogą posłużyć do opisywania różnych zjawisk:
- fizycznych,
- technicznych,
- ekonomicznych,
- statystycznych,
- demograficznych,
- dotyczących banków,
- dotyczących ubezpieczeń,
- dotyczących zjawisk społecznych,
- dotyczących zjawisk wyborczych.


Po co badamy funkcje?

Badanie funkcji może dać obraz zmian wielkości opisujących jakieś zjawisko.


Co daje zbadanie funkcji?

Zbadanie funkcji może pomóc w ustaleniu newralgicznych punktów funkcji.

Badanie funkcji jest jest ważne, gdy chcemy wykreślić szkic wykresu funkcji.


Funkcje. Funkcje jednej zmiennej. Badanie przebiegu zmienności funkcji. Ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej. Pochodna funkcji jednej zmiennej. Wklęsłość i wypukłość funkcji jednej zmiennej.


1. Ustalimy dziedzinę funkcji, czyli zakres zmiennej niezależnej

.

Funkcja jest ilorazem dwóch wielomianów czyli funkcji określonych na liczbach rzeczywistych.

Iloraz też jest funkcja określoną na liczbach rzeczywistych zgodnie z zasadami działań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Dziedziną funkcji jest podzbiór liczb rzeczywistych. Do dziedziny nie należą liczby, dla których funkcja nie jest określona.

Ustalanie dziedziny funkcji, czyli zakresu zmiennej niezależnej
Powiększenie



Dla wszystkich elementów dziedziny mianownik funkcji nie przyjmuje wartości zero.




2. Zbiór wartości funkcji

Teraz ustalimy zbiór wartości funkcji.
Będzie to również podzbiór zbioru liczb rzeczywistych. Funkcja badana jest ilorazem funkcji rzeczywistych, więc ona też jest funkcją o wartościach będących liczbami rzeczywistymi. W tym celu zbadamy jak funkcja się zachowuje w dla liczb ze swojej dziedziny. Określimy więc, czy funkcja jest ciągła i jak zachowuje się na krańcach obu przedziałów (zbadamy granice w minus nieskończoności i w plus oraz granice lewostronną i prawostronną w jedynce). Wykorzystamy własność funkcji ciągłych - funkcja ciągła przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy wartościami skrajnymi.


Teraz ustalimy zbiór wartości funkcji

Dziedzina funkcji - ciąg dalszy


Dalszy ciąg ustalania zbioru wartości funkcji
Czasami można wykorzystać funkcję odwrotną - o ile istnieje.


Dalszy ciąg ustalania zbioru wartości funkcji

3. Ekstrema funkcji


Kolejnym etapem badania funkcji będzie zbadanie ekstremów lokalnych funkcji.
W tym celu obliczymy pochodne funkcji i sprawdzimy, czy i w jakich punktach pierwsza pochodna przyjmuje wartość zero. Potem sprawdzimy jak zachowuje się pierwsza pochodna przy przejściu przez te punkty.


Kolejnym etapem badania funkcji będzie zbadanie ekstremów lokalnych funkcji

4. Sprawdzimy czy funkcja ma asymptoty

Asymptota to prosta, do której zbliża się wartość funkcji, gdy argument funkcji zbiega do plus lub minus nieskończoności lub do punktu nieciągłości lub nieokreśloności funkcji. W tym celu zbadamy granice ilorazu wartości funkcji przez wartość zmiennej, gdy zmienna ta zbiega do nieskończoności. W punkcie nieciągłości (nieokreśloności) funkcji odpowiedź już znamy - asymptotą jest prosta prostopadła do osi x-ów - określa ją równość x=1. Sprawdzimy czy funkcja ma inne asymptoty.


Sprawdzimy czy funkcja ma asymptoty

5. Jedną z cech funkcji jest monotoniczność lub jej brak.

Sprawdzimy to badając pierwszą pochodną funkcji.


Jedną z cech funkcji jest monotoniczność lub jej brak.

6. Sprawdzimy teraz wklęsłość i wypukłość funkcji



Sprawdzimy teraz wklęsłość i wypukłość funkcji

7. Parzystość funkcji


Można jeszcze sprawdzić parzystość funkcji.
Funkcja parzysta to taka, która po wstawieniu argumentu -x daje taki sam wynik jak dla argumentu x.

Funkcja nieparzysta to tak, w której po wstawieniu zamiast x wartości -x dostajemy taką samą wartość bezwzględną funkcji ale przeciwny znak.


sprawdzić parzystość funkcji